Montrer que la série de Riemann \(\sum_{k\geqslant0}\frac1{k^\alpha}\) diverge si et seulement si \(\alpha\leqslant1\)

Comparer le terme général avec celui d'une série connue
Supposons \(\alpha\leqslant1\). Alors $$\frac1n\leqslant\frac1{n^\alpha}$$

Théorème de comparaison

Donc $$\underbrace{\sum^n_{k=1}\frac1k}_{\longrightarrow+\infty}\leqslant\sum^n_{k=1}\frac1{k^\alpha}$$
Donc on a bien \(\sum_{k\geqslant0}\frac1{k^\alpha}\longrightarrow+\infty\)

(Théorème de comparaison)